קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

גאומטריה אנליטית: חיתוכים והוכחת תכונות

משלבים אמצע, מרחק ומשוואות ישרים כדי לשחזר נקודות, לבדוק משולשים ולהוכיח תכונות של מרובעים. מטפלים גם בישרים אנכיים ואופקיים. זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · שילוב מערכת צירים וגיאומטריה. אמצע, מרחק, מאונכות ומקומות גאומטריים הם הרחבות לפי מוכנות, לא דרישה אחידה לכל תלמידי ט׳. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/analytic-geometry?target=4

לפני שמתחילים

1. אמצע וקצה נתונים: משחזרים את הקצה החסר

אם M אמצע AB, אז x של M הוא () של A + x של B)/2, וכך גם עבור y. כדי לבודד את הקצה החסר כופלים את משוואת הממוצע ב־2 ומחסרים את השיעור הידוע. לכן B(2) של M − x של A, 2y של M − y של A). זו אינה נוסחה חדשה שצריך לנחש: היא מתקבלת ממשוואת האמצע. חשוב להבחין בין נקודת קצה לבין האמצע ולבדוק את התוצאה בממוצע המקורי.

דוגמה: נתונות A(−2, 5) ו־M(3, 1), אמצע AB. מצאו את B.

  1. משוואת שיעורי x היא (−2 + ) של B)/2 = 3. כופלים את שני האגפים ב־2: −2 + x של B = 6. מעבירים את −2 בשינוי סימן ומקבלים x של B = 6 + 2 = 8; זו הוספת 2 לשני האגפים.
  2. משוואת שיעורי y היא (5 + ) של B)/2 = 1. כופלים את שני האגפים ב־2: 5 + y של B = 2. מעבירים את 5 בשינוי סימן ומקבלים y של B = 2 − 5 = −3; זו החסרת 5 משני האגפים.
  3. קיבלנו B(8, −3). בודקים: (, ) = (3, 1), כנדרש.
  4. ההעתק מ־A ל־M הוא 5 ימינה ו־4 למטה. אותו העתק מ־M מוביל ל־B, כך שהאמצע אכן מחלק את הקטע לשניים.

תרגול מודרך

A(1, −3) ו־M(4, 2) נתונות, ו־M אמצע AB. מהי B?

  • (5, −1)
  • (3, 5)
  • (7, 7)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

B(6, −4) ו־M(1, −1) נתונות, ו־M אמצע AB. מצאו את A.

  • (−4, 2)
  • (4, −2)
  • (7, −5)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מסווגים משולש בעזרת ריבועי אורכים

ריבוע המרחק בין שתי נקודות הוא סכום ריבועי הפרשי השיעורים, לפי פיתגורס. כדי לבדוק שוויון אורכים מספיק להשוות את ריבועיהם, משום שהאורכים לא־שליליים. משולש עם שתי צלעות שוות הוא שווה שוקיים. לפי המשפט ההפוך לפיתגורס, משולש הוא ישר זווית אם ריבוע הצלע הארוכה ביותר שווה לסכום ריבועי האחרות; הזווית הישרה מול הצלע הארוכה. לפני הסיווג צריך לוודא שיש שלוש נקודות שונות שאינן על ישר אחד. בדוגמאות כאן שתי נקודות על ציר x והשלישית מחוצה לו, ולכן יש משולש.

דוגמה: סווגו את המשולש A(−3, 0), B(3, 0), C(0, 4): האם הוא שווה שוקיים? האם הוא ישר זווית?

  1. A ו־B נקודות שונות על y = 0, ו־C אינה על הישר הזה. לכן המשולש אינו מנוון.
  2. AC² = 3² + 4² = 25, וגם BC² = (−3)² + 4² = 25. לכן AC = BC = 5 והמשולש שווה שוקיים.
  3. AB² = 6² = 36. זהו ריבוע הצלע הארוכה ביותר.
  4. בודקים את התנאי לפיתגורס: 25 + 25 = 50, ולא 36. לכן המשולש אינו ישר זווית. שוויון שתי צלעות אינו קובע שיש זווית ישרה.

תרגול מודרך

נתונות A(0, 0), B(4, 0), C(2, 2). איזה סיווג נכון?

  • שווה שוקיים שאינו ישר זווית
  • שווה שוקיים וישר זווית ב־C
  • ישר זווית ב־A, אך אינו שווה שוקיים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתונות A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4). מה נכון?

  • ישר זווית ב־C ושווה שוקיים
  • אינו שווה שוקיים
  • שווה שוקיים שאינו ישר זווית

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. בונים ישר ומוצאים נקודת חיתוך

לישר לא־אנכי דרך שתי נקודות שונות השיפוע הוא m = : שינוי אנכי חלקי שינוי אופקי. מציבים נקודה ב־y = mx + b כדי למצוא את b. נקודת חיתוך של שני ישרים מקיימת את שתי המשוואות בו־זמנית. כאשר שתיהן כתובות כ־y שווה ביטוי, משווים את הביטויים, פותרים עבור x ומציבים למציאת y. ישרים בעלי שיפועים שונים נפגשים פעם אחת. אם מתקבלת משוואה ללא פתרון הם מקבילים שונים; אם שתי המשוואות שקולות מדובר באותו ישר. ישר אנכי נכתב x = קבוע ומטופל בהצבה.

דוגמה: מצאו את הישר דרך A(−1, 1) ו־B(3, 9), ואת חיתוכו עם y = −x + 6.

  1. השיפוע של AB הוא = = 2.
  2. מציבים A ב־y = 2x + b: מתקבל 1 = −2 + b. מעבירים את −2 בשינוי סימן: b = 1 + 2 = 3; זה שקול להוספת 2 לשני האגפים. לכן AB הוא y = 2x + 3.
  3. בנקודת החיתוך אותו y מקיים שתי משוואות: 2x + 3 = −x + 6. מעבירים את −x שמאלה ואת 3 ימינה, בשינוי סימן: 2x + x = 6 − 3. זה שקול להוספת x ולהחסרת 3 בשני האגפים. מקבלים 3x = 3, ומחלקים ב־3: x = 1.
  4. מציבים: y = 2 × 1 + 3 = 5. גם בישר השני −1 + 6 = 5, ולכן החיתוך הוא (1, 5).

תרגול מודרך

ישר עובר דרך (0, 2) ו־(2, 6). היכן הוא חותך את y = −x + 8?

  • (2, 6)
  • (3, 5)
  • (2, 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

הישר דרך (1, 1) ו־(3, 5) חותך את y = 7. מהי נקודת החיתוך?

  • (3, 7)
  • (4, 7)
  • (7, 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מקבילות ומאונכות: בודקים גם כיוון מיוחד

לישרים לא־אנכיים יש אותו כיוון אם שיפועיהם שווים; אם גם החיתוך עם ציר y שווה, זהו אותו ישר ולא שני ישרים מקבילים שונים. עבור שני ישרים לא־אנכיים, מאונכות שקולה למכפלת שיפועים −1. הסיבה: סיבוב כיוון של 90 מעלות מחליף שינוי אופקי ואנכי ומחליף סימן של אחד מהם; השיפוע החדש הוא הנגדי של ההופכי. לכן לשיפוע m שאינו אפס מתאים שיפוע מאונך −. אין להשתמש בחילוק הזה כאשר m = 0: לישר אופקי מאונך ישר אנכי, ולהפך. שני ישרים אנכיים שונים מקבילים זה לזה.

דוגמה: דרך P(2, 1) מצאו ישר מקביל וישר מאונך ל־y = 3x − 4. מה משתנה אם הישר הנתון הוא x = 5?

  1. במקביל ל־y = 3x − 4 השיפוע 3. מציבים P: מתקבל 1 = 6 + b. מעבירים את 6 בשינוי סימן: b = 1 − 6 = −5; זהו חיסור 6 משני האגפים. לכן הישר הוא y = 3x − 5. החיתוכים עם ציר y שונים, ולכן אלה ישרים שונים.
  2. במאונך השיפוע הוא −. מציבים P: מתקבל 1 = − + b. מעבירים את − בשינוי סימן: b = 1 + = ; זו הוספת לשני האגפים. הישר הוא y = (−)x + .
  3. אם הישר הנתון הוא x = 5, הוא אנכי ושיפועו אינו מוגדר. המקביל דרך P הוא x = 2.
  4. המאונך לישר אנכי הוא אופקי. דרך P מתקבל y = 1; אין צורך לייחס לישר אנכי שיפוע מספרי.

תרגול מודרך

מהו הישר דרך (3, −2) המאונך ל־y = −2x + 5?

  • y = −2x + 4
  • y = ()x − 2
  • y = ()x −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

דרך P(−1, 4) מעבירים מקביל ומאונך ל־x = 3. מהן המשוואות, בסדר הזה?

  • מקביל: x = −1; מאונך: y = 4
  • מקביל: y = 4; מאונך: x = −1
  • מקביל: x = 4; מאונך: y = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מוכיחים איזה מרובע מתקבל

במרובע שקודקודיו A, B, C, D לפי הסדר, האלכסונים הם AC ו־BD. אם הם חוצים זה את זה והמרובע אינו מנוון, הוא מקבילית. אפשר להבין זאת מן השיעורים: שוויון האמצעים נותן A + C = B + D בכל שיעור, ולכן השינויים מ־A ל־B ומ־D ל־C שווים, וכך גם מ־B ל־C ומ־A ל־D. אלה זוגות של צלעות נגדיות מקבילות ושוות. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן; מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. בודקים שהנקודות שונות וששלושה קודקודים סמוכים אינם על ישר אחד. אמצע משותף לבדו אינו מוכיח מלבן: צריך גם מאונכות.

דוגמה: סווגו את המרובע A(1, 1), B(5, 3), C(4, 5), D(0, 3), שקודקודיו נלקחים בסדר הנתון.

  1. כל הנקודות שונות. שיפוע AB הוא = ושיפוע BC הוא = −2. הם שונים, ולכן A, B, C אינם על ישר אחד.
  2. אמצע AC הוא (, 3) ואמצע BD הוא (, 3). האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן המרובע מקבילית.
  3. מכפלת השיפועים של AB ו־BC היא () × (−2) = −1, ולכן הזווית ב־B ישרה והמקבילית היא מלבן.
  4. AB² = 4² + 2² = 20, ואילו BC² = (−1)² + 2² = 5. הצלעות הסמוכות אינן שוות, ולכן זהו מלבן שאינו ריבוע.
מלבן מסובב: מאמתים בעזרת שיעורים-1123456-1123456xy0ABCDM
מלבן מסובב: מאמתים בעזרת שיעורים

נתונות A(1, 1), B(5, 3), C(4, 5), D(0, 3), בסדר הזה. M(, 3) הוא האמצע המשותף המחושב של האלכסונים. מחישוב השיפועים מתקבלת זווית ישרה ב־B; מאורכי הצלעות מתקבל מלבן שאינו ריבוע. התכונות הן מסקנות, ולא הנחות מן הציור.

תרגול מודרך

סווגו את A(0, 0), B(2, 2), C(0, 4), D(−2, 2), לפי הסדר. מהי הטענה המדויקת ביותר?

  • מלבן שאינו ריבוע
  • ריבוע
  • מקבילית שאינה מלבן

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

סווגו את A(0, 0), B(4, 0), C(6, 3), D(2, 3), לפי הסדר.

  • מלבן
  • מרובע שאינו מקבילית
  • מקבילית שאינה מלבן

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.