קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

גאומטריה אנליטית: מרחק, אמצע ומשוואת ישר

קוראים נקודות במישור, מוצאים אמצע ומרחק ובונים משוואת ישר משתי נקודות. מסיימים בשילוב הנתונים במשולש ובמלבן. זהו מסלול למידה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · שילוב מערכת צירים וגיאומטריה. אמצע, מרחק, מאונכות ומקומות גאומטריים הם הרחבות לפי מוכנות, לא דרישה אחידה לכל תלמידי ט׳. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/analytic-geometry?target=3

לפני שמתחילים

1. מרחק אופקי או אנכי: כמה יחידות מפרידות?

בנקודה (x, y), שיעור x קובע את המיקום האופקי ושיעור y את המיקום האנכי. לשתי נקודות עם אותו y יש קטע אופקי; אורכו הוא ההפרש בין ערכי x, כשהגדול פחות הקטן. לשתי נקודות עם אותו x יש קטע אנכי; משתמשים באותו אופן בערכי y. אורך אינו שלילי. הסימון |a| נקרא ערך מוחלט ופירושו המרחק של a מאפס: למשל |−6| = 6. לכן אפשר לכתוב אורך אופקי כ־|x₂ − x₁| ואנכי כ־|y₂ − y₁| בלי לבחור סדר מיוחד לנקודות.

דוגמה: נתונות A(−2, 3), B(4, 3), C(4, −1). חשבו את AB ואת BC.

  1. ל־A ול־B אותו שיעור y, ולכן AB אופקי.
  2. מ־x = −2 עד x = 4 עוברים 6 יחידות: AB = |4 − (−2)| = 6.
  3. ל־B ול־C אותו שיעור x, ולכן BC אנכי. אורכו |−1 − 3| = |−4| = 4.
  4. התוצאות הן AB = 6 ו־BC = 4. הסימן השלילי בהפרש מתאר כיוון, ולא אורך שלילי.

תרגול מודרך

מהו המרחק בין (−3, 2) ל־(5, 2)?

  • 6
  • 8
  • 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו אורך הקטע שקצותיו (2, −4) ו־(2, 3)?

  • 1
  • −7
  • 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אמצע קטע: באמצע בכל אחד מהשיעורים

אמצע קטע הוא נקודה שמחלקת אותו לשני קטעים שווי אורך. כדי להגיע מקצה אחד למחצית הדרך, עוברים חצי מהשינוי האופקי וחצי מהשינוי האנכי. לכן אם A(x₁, y₁) ו־B(x₂, y₂), אז M(, ). כל שיעור הוא הממוצע של שני השיעורים המתאימים. אין לערבב x של נקודה אחת עם y של האחרת. הנוסחה פועלת גם כשהשיעורים שליליים וגם כשהקטע אלכסוני.

דוגמה: מצאו את אמצע הקטע שקצותיו A(−2, 1) ו־B(6, 5).

  1. השינוי האופקי מ־A ל־B הוא 6 − (−2) = 8. מחציתו 4, ולכן שיעור x של האמצע הוא −2 + 4 = 2.
  2. השינוי האנכי הוא 5 − 1 = 4. מחציתו 2, ולכן שיעור y של האמצע הוא 1 + 2 = 3.
  3. אותו חישוב בעזרת הממוצעים: x של M הוא = 2; y של M הוא = 3.
  4. לכן M(2, 3). בשני השיעורים עברנו בדיוק מחצית מהשינוי בין הקצוות.

תרגול מודרך

מצאו את אמצע הקטע בין (0, 2) ל־(8, 6).

  • (4, 4)
  • (8, 8)
  • (4, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו אמצע הקטע שקצותיו (−4, −2) ו־(2, 4)?

  • (−3, 3)
  • (−1, 1)
  • (1, −1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מרחק אלכסוני: בונים את החישוב מפיתגורס

אם שני השיעורים משתנים, הפרש אחד לבדו אינו אורך הקטע. ההפרש האופקי וההפרש האנכי הם ניצבים של משולש ישר זווית, והקטע בין הנקודות הוא היתר. לפי משפט פיתגורס, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים. לכן AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)², ו־AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². הסימון √ מציין את השורש הלא־שלילי: למשל 25 = 5. הריבועים מבטלים סימנים שליליים בהפרשים. הנוסחה תקפה גם בקטע אופקי או אנכי, שבו אחד ההפרשים אפס.

דוגמה: חשבו את המרחק בין A(−1, 2) ל־B(2, 6).

  1. ההפרש האופקי הוא 2 − (−1) = 3, וההפרש האנכי הוא 6 − 2 = 4.
  2. אפשר לעבור דרך הנקודה (2, 2): התנועה האופקית ואחריה האנכית יוצרות ניצבים באורכים 3 ו־4.
  3. לכן AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
  4. לוקחים שורש לא־שלילי ומקבלים AB = 5. סכום הניצבים, 7, הוא אורך המסלול השבור ולא אורך הקטע הישר AB.

תרגול מודרך

מהו המרחק בין (−2, 1) ל־(4, 9)?

  • 14
  • 100
  • 10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו את המרחק בין (1, −3) ל־(5, 0).

  • 5
  • 7
  • 25

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שיפוע ומשוואת ישר משתי נקודות

שיפוע מודד בכמה y משתנה כאשר x גדל ביחידה אחת. לכן בין שתי נקודות ששיעורי x שלהן שונים, m = . ישר כזה נכתב y = mx + b: m הוא השיפוע ו־b הוא ערך y כש־x = 0. לאחר חישוב m מציבים שיעורי נקודה כדי למצוא את b. אם לשתי נקודות שונות אותו x, הישר אנכי ומשוואתו x = אותו מספר; השיפוע אינו מוגדר כי אסור לחלק באפס. אם רק y שווה, השיפוע אפס והישר אופקי. שתי נקודות זהות אינן קובעות ישר יחיד.

דוגמה: מצאו את משוואת הישר דרך (1, 3) ו־(3, 7).

  1. שיעורי x שונים, ולכן אפשר לחשב שיפוע: m = = = 2.
  2. כותבים y = 2x + b ומציבים את הנקודה (1, 3): מתקבל 3 = 2 × 1 + b.
  3. מעבירים את 2 לאגף השני בשינוי סימן: b = 3 − 2 = 1. זה שקול לחיסור 2 משני האגפים. לכן משוואת הישר היא y = 2x + 1.
  4. בודקים גם את הנקודה השנייה: עבור x = 3 מתקבל y = 7. שתי הנקודות מקיימות את המשוואה.

תרגול מודרך

איזה ישר עובר דרך (0, −1) ו־(2, 3)?

  • y = 2x + 1
  • y = 2x − 1
  • y = −2x − 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מצאו את הישר דרך (1, 5) ו־(3, 1).

  • y = 2x + 3
  • y = −2x + 5
  • y = −2x + 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. משלבים נתונים בלי להסתמך על שרטוט

בבעיה עם כמה נקודות בוחרים את החישוב לפי השאלה: שיעור משותף מזהה קטע אופקי או אנכי; שני הפרשים נותנים מרחק בעזרת פיתגורס; שני ממוצעים נותנים אמצע. קטע אופקי וקטע אנכי הנפגשים בנקודה יוצרים זווית ישרה. כל טענה צריכה לנבוע מהשיעורים הנתונים. שרטוט יכול לעזור להבין את הנתונים, אך המסקנות נובעות מהשיעורים: אין להסיק שצלעות שוות רק כי הן נראות שוות בשרטוט.

דוגמה: נתונות A(1, 1), B(7, 1), C(7, 9). הראו שהזווית ב־B ישרה, וחשבו את AC ואת אמצעו.

  1. AB אופקי כי לשני קצותיו y = 1; BC אנכי כי לשני קצותיו x = 7. לכן הם מאונכים והזווית ב־B ישרה.
  2. AB = 7 − 1 = 6 ו־BC = 9 − 1 = 8. שני האורכים חיוביים ולכן מתקבל משולש אמיתי.
  3. AC הוא היתר: AC = 6² + 8² = 100 = 10.
  4. אמצע AC הוא M(, ) = M(4, 5). חישוב האמצע משתמש בקצוות A ו־C, ולא בקודקוד B.
מנתוני משולש לאורכו ולאמצע היתר-1123456789-11234567891011xy06810ABCM
מנתוני משולש לאורכו ולאמצע היתר

נתונות A(1, 1), B(7, 1), C(7, 9). הנקודה M(4, 5) והאורכים AB = 6, BC = 8, AC = 10 הם תוצאות החישוב. הזווית ב־B ישרה כי AB אופקי ו־BC אנכי. השרטוט מסייע להבין; ההוכחה נשענת על השיעורים.

תרגול מודרך

במלבן שקודקודיו לפי הסדר A(0, 0), B(8, 0), C(8, 6), D(0, 6), מהו אורך AC ומהו אמצעו?

  • AC = 10; האמצע (4, 3)
  • AC = 14; האמצע (4, 3)
  • AC = 10; האמצע (8, 6)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתונות A(−3, −1), B(3, −1), C(3, 7). מהו AC ומהו אמצעו?

  • AC = 10; האמצע (0, 4)
  • AC = 10; האמצע (0, 3)
  • AC = 14; האמצע (0, 3)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.