קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

זהויות עם פרמטרים והשוואת מקדמים

משווים מקדמים, מוצאים מתי ביטוי הוא ריבוע מושלם ומבדילים בין זהות לכל x לבין משוואה שתלויה בפרמטר. זוהי העמקה ממוקדת, ולא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/algebraic-identities?target=5

לפני שמתחילים

1. זהות לכל x מחייבת התאמה של כל המקדמים

בזהות פולינומית שנכונה לכל x, המקדמים של אותן חזקות חייבים להיות שווים, וגם האיברים הקבועים חייבים להתאים. לכן אפשר לפתוח צד אחד ואז להשוות מקדם של x², מקדם של x ואיבר קבוע בנפרד. הצבה מוצלחת של x אחד אינה מוכיחה זהות. במסלול הזה x הוא המשתנה; a ו־b הם פרמטרים ממשיים שקובעים את הביטוי.

דוגמה: מצאו a ו־b כך ש־(x + a)² = x² + 10x + b תהיה זהות לכל x.

  1. פותחים: (x + a)² = x² + 2ax + a².
  2. מקדמי x² כבר שווים. משווים מקדמי x: 2a = 10, ולכן a = 5.
  3. משווים את האיברים הקבועים: b = a² = 25.
  4. בדיקה אלגברית: (x + 5)² = x² + 10x + 25 לכל x. הצבה של x = 0 לבדה הייתה נותנת רק b = a², בלי לקבוע את a.

תרגול מודרך

עבור אילו a ו־b מתקיימת הזהות (x + a)² = x² − 8x + b לכל x?

  • a = 4, b = 16
  • a = −4, b = 16
  • a = −8, b = 64

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עבור אילו a ו־b מתקיימת הזהות (2x + a)² = 4x² − 12x + b לכל x?

  • a = −6, b = 36
  • a = 3, b = 9
  • a = −3, b = 9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מתי משפחת ביטויים היא ריבוע מושלם?

כדי שביטוי יהיה זהה לריבוע של ביטוי ליניארי, גם האיבר האמצעי וגם הקבוע צריכים להתאים לאותה בחירה. למשל, בריבוע (x + t)² הקבוע הוא t² והאיבר האמצעי הוא 2tx. אם נתון t² = 9, יש שתי אפשרויות ממשיות: t = 3 או t = −3. לכן יש לבדוק את שני סימני האיבר האמצעי, ולא לבחור אוטומטית את החיובי. הכוונה לריבוע מושלם כאן היא זהות לכל x, לא שוויון במקרה בהצבה אחת.

דוגמה: עבור אילו ערכי a הביטוי x² + 2ax + 9 הוא ריבוע מושלם של ביטוי ליניארי ממשי?

  1. מקדם x² הוא 1, ולכן כל ריבוע ליניארי מתאים ניתן לכתיבה כ־(x + t)²; סימן כולל שלילי בתוך הסוגריים אינו משנה את הריבוע.
  2. משווים את האיבר האמצעי: 2t = 2a, ולכן t = a.
  3. משווים קבועים: t² = 9. לכן a = 3 או a = −3.
  4. אם a = 3 מתקבל (x + 3)²; אם a = −3 מתקבל (x − 3)². לכל a אחר אחד המקדמים אינו מתאים ולכן אין זהות כזאת.

תרגול מודרך

עבור אילו ערכי a הביטוי x² + 2ax + 16 הוא ריבוע מושלם של ביטוי ליניארי?

  • a = 4 או a = −4
  • רק a = 4
  • a = 8 או a = −8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עבור אילו ערכי a הביטוי 4x² + 4ax + 25 הוא ריבוע מושלם של ביטוי ליניארי?

  • a = 5 או a = −5
  • רק a = 5
  • a = 25 או a = −25

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. הנעלם נעלם: תנאי על הפרמטר אינו פתרון ל־x

משוואה עשויה להפוך אחרי שימוש בזהות לתנאי על הפרמטר בלבד. אם התנאי נכון, המשוואה המקורית היא זהות וכל x ממשי פותר. אם הוא שקרי, אין פתרון עבור אותו פרמטר. אין לרשום את ערכי a כפתרונות עבור x: אלה מספרים שקובעים איזו משוואה במשפחה אנחנו פותרים. חשוב להציג את שני סוגי המקרים.

דוגמה: סווגו את פתרונות (x + a)² = x² + 2ax + 4 לפי a.

  1. פותחים את אגף שמאל: x² + 2ax + a² = x² + 2ax + 4.
  2. מחסרים x² + 2ax משני האגפים; נשאר a² = 4.
  3. אם a = 2 או a = −2, התנאי נכון והמשוואה המקורית היא זהות: כל x ממשי פותר.
  4. אם a שונה מ־2 ומ־−2, התנאי שקרי ולכן אין פתרון. למשל, ב־a = 0 נשאר 0 = 4.
  5. המספרים 2 ו־−2 הם ערכי פרמטר מיוחדים, ולא רשימת פתרונות ל־x.

תרגול מודרך

איזה סיווג נכון עבור (x + a)² = x² + 2ax + 9?

  • לכל a: x = 3 או x = −3
  • אם a = 3 בלבד: כל x; אחרת אין פתרון
  • אם a = 3 או a = −3: כל x; אחרת אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה סיווג נכון עבור (2x + a)² = 4x² + 4ax + 16?

  • לכל a: x = 4 או x = −4
  • אם a = 4 או a = −4: כל x; אחרת אין פתרון
  • אם a = 8 או a = −8: כל x; אחרת אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. משוואה בין ריבועים: מתי מותר לחלק?

כאשר משווים שני ריבועים של ביטויים, מעבירים הכול לאגף אחד ומפרקים הפרש ריבועים. כך אפשר לראות אם אחד הגורמים תלוי רק בפרמטר. תחילה בודקים מתי הוא אפס; במקרה הזה ייתכן שכל x פותר. רק ביתר ערכי הפרמטר מותר לחלק בו ולפתור את הגורם שנותר. הפירוק מאפשר להבחין בין זהות לכל x לבין משוואה שיש לה פתרון מסוים, בלי להניח מראש שמקדם עם פרמטר שונה מאפס.

דוגמה: פתרו את (x + a)² = (x + 1)² לפי a.

  1. מעבירים את אגף ימין כחיסור: (x + a)² − (x + 1)² = 0.
  2. מפרקים הפרש ריבועים: [(x + a) − (x + 1)][(x + a) + (x + 1)] = 0, כלומר (a − 1)(2x + a + 1) = 0.
  3. אם a = 1, שני האגפים המקוריים זהים, ולכן כל x ממשי פותר.
  4. אם a ≠ 1, נדרש 2x + a + 1 = 0. מעבירים a + 1 לאגף השני עם שינוי סימן: 2x = −a − 1, ולכן x = −.
  5. בדיקה במקרה השני: x + a = ואילו x + 1 = −. הביטויים נגדיים, ולכן ריבועיהם שווים. יש פתרון יחיד בכל a ≠ 1.

תרגול מודרך

מהו הסיווג המלא של (x + a)² = (x − 2)²?

  • אם a = −2: כל x; אחרת x =
  • אם a = 2: כל x; אחרת x =
  • לכל a: רק x =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הסיווג המלא של (2x + a)² = (2x + 3)²?

  • אם a = 3: אין פתרון; אחרת x = −
  • לכל a: רק x = −
  • אם a = 3: כל x; אחרת x = −

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.