קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

כפל מקוצר: זיהוי תבניות ופירוק במשוואות

משלבים מקדמים, מזהים ריבוע מושלם לאחור, מוציאים גורם לפני הפרש ריבועים ומשתמשים בזהויות לקיצור משוואות. זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/algebraic-identities?target=4

לפני שמתחילים

1. כל חלק בנוסחה יכול להיות ביטוי

בזהויות a ו־b מייצגים חלקים שלמים, ולא בהכרח אות או מספר בודד. ב־(2x − 3)² מציבים a = 2x ו־b = 3. לכן a² = (2x)² = 4x², ולא 2x². גם האיבר האמצעי מחושב משני החלקים בשלמותם. נזכרים בשלוש התבניות: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², ו־(a + b)(a − b) = a² − b².

דוגמה: פתחו את (2x − 3)².

  1. מזהים a = 2x, b = 3.
  2. ריבוע הראשון: (2x)² = 4x². האיבר האמצעי: −2 × 2x × 3 = −12x. ריבוע השני: 9.
  3. לכן (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9.
  4. בדיקה בכפל רגיל נותנת 4x² − 6x − 6x + 9, אותה תוצאה.

תרגול מודרך

מהי פתיחת (3x + 2)²?

  • 9x² + 12x + 4
  • 3x² + 12x + 4
  • 9x² + 6x + 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהי פתיחת (2x − 5)²?

  • 4x² − 10x + 25
  • 4x² − 20x + 25
  • 4x² − 20x − 25

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. זיהוי לאחור: בודקים גם את האיבר האמצעי

כדי לזהות a² + 2ab + b² או a² − 2ab + b², לא מספיק שהאיבר הראשון והאחרון הם ריבועים. מוצאים את שני החלקים, מחשבים פעמיים את מכפלתם, ומשווים לאיבר האמצעי כולל הסימן. רק אם גם הוא מתאים, אפשר לכתוב ריבוע של סוגריים. למשל, x² + 5x + 4 אינו (x + 2)², כי האיבר האמצעי הדרוש הוא 4x.

דוגמה: כתבו את 9x² + 12x + 4 כריבוע של ביטוי.

  1. 9x² = (3x)² ו־4 = 2², ולכן החלקים המועמדים הם 3x ו־2.
  2. בודקים את האיבר האמצעי: 2 × 3x × 2 = 12x, בדיוק כמו בביטוי.
  3. הסימן האמצעי חיובי, ולכן 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)².
  4. פתיחת הריבוע מחזירה את שלושת האיברים ומוודאת את הזיהוי.

תרגול מודרך

איזה ריבוע שווה ל־4x² − 12x + 9?

  • (2x − 9)²
  • (2x + 3)²
  • (2x − 3)²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה ריבוע שווה ל־25x² + 20x + 4?

  • (5x + 2)²
  • (5x + 4)²
  • (5x − 2)²

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. קודם גורם משותף, ואז הפרש ריבועים

לפעמים תבנית מוכרת מסתתרת אחרי הוצאת גורם משותף. בודקים קודם אם לכל האיברים יש גורם מספרי משותף, ורק אחר כך מחפשים הפרש ריבועים בתוך הסוגריים. את הגורם שהוצאנו משאירים מחוץ למכפלה. זו דרך לפרק ביטוי, ולכן אין כאן חלוקה של משוואה בגורם עם נעלם ואין צורך להחריג ערכי x.

דוגמה: פרקו את 3x² − 27 באמצעות גורם משותף והפרש ריבועים.

  1. מוציאים 3: 3x² − 27 = 3(x² − 9).
  2. בתוך הסוגריים מזהים x² − 3².
  3. מפרקים: 3(x² − 9) = 3(x − 3)(x + 3).
  4. בודקים: (x − 3)(x + 3) = x² − 9, וכפל ב־3 מחזיר 3x² − 27.

תרגול מודרך

איזה פירוק נכון של 8x² − 2?

  • 2(2x − 1)²
  • 2(2x − 1)(2x + 1)
  • 2(4x − 1)(4x + 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק נכון של 5x² − 80?

  • 5(x − 4)²
  • 5(x − 16)(x + 16)
  • 5(x − 4)(x + 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. זהות יכולה להפוך משוואה ארוכה לקצרה

זהות מחליפה ביטוי בביטוי ששווה לו לכל x. משוואה, לעומת זאת, מבקשת למצוא אילו ערכי x יוצרים שוויון מסוים. כאשר מופיע הפרש של ריבועים, אפשר לפרק במקום לפתוח הכול: A² − B² = (A − B)(A + B). אחרי הפישוט מעבירים איברים מחוברים אגף עם שינוי סימן, כלומר מחסרים או מוסיפים אותם בשני האגפים, ומחלקים במקדם שאינו אפס.

דוגמה: פתרו את (x + 3)² − x² = 21 באמצעות הפרש ריבועים.

  1. באגף שמאל מזהים A = x + 3 ו־B = x. לפי הזהות: [(x + 3) − x][(x + 3) + x] = 21.
  2. מפשטים: 3(2x + 3) = 21, ולכן 6x + 9 = 21.
  3. מעבירים +9 כחיסור: 6x = 12. מחלקים ב־6: x = 2.
  4. בדיקה במקור: (2 + 3)² − 2² = 25 − 4 = 21. כל הביטויים מוגדרים לכל x, ולכן אין מגבלת תחום נוספת.

תרגול מודרך

פתרו (x + 2)² − x² = 16. מהו x?

  • 4
  • 2
  • 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו (2x + 1)² − (2x − 1)² = 24. מהו x?

  • 3
  • 6
  • 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.